Depending on the preposition, the verb bestehen can have very different meanings. Without a preposition, you'll need to pay attention to the context. 

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You might see bestehen translated simply as "to be." Generally, bestehen used in this context implies a long time involved, so "to exist" and "to persist" might be better translations.

Es besteht der Anfangsverdacht der Vorteilsnahme gegen den früheren niedersächsischen CDU-Ministerpräsidenten.

There is an initial suspicion of taking bribes being brought against the previous CDU [Christian Democratic Union] Minister President of Lower Saxony.

Captions 31-32, Bundespräsident Wulff tritt zurück: Kredit- und Medienaffäre

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Offenbar besteht aber bei vielen Menschen eine große Sehnsucht nach diesem alten Wissen.

Apparently, however, there is a great longing among many people for this ancient knowledge.

Captions 28-29, Deutsch mit Eylin: Die vier Elemente

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Es besteht die Möglichkeit, jedes Board vorher zu testen... damit Probe zu fahren.

There is the option of testing each board beforehand... to test-ride it.

Caption 41, Longboardin:g mit Lassrollen

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The verb bestehen can also be used to describe passing a test or exam. 

Hat Claire den Test bestanden?

Did Claire pass the test?

Caption 39, Galileo: So hart ist der Job im Callcenter

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The construction auf etwas bestehen can best be translated as "to insist."

Wieso nicht will? Ich bestehe darauf!

Why should they not want to? I insist!

Caption 75, Es war einmal... der Weltraum: Planet Omega

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The construction aus etwas bestehen is used to describe what something is comprised of or consists of. 

Genau! Die Freie Hansestadt Bremen besteht aber aus zwei Großstädten.

Exactly! The Free Hanseatic City of Bremen consists of two large cities.

Caption 18, Bundesländer und ihre Rezepte: Bremen

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Further Learning

You'll find more examples of bestehen used in different contexts on Yabla German.